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수학에 자신감 높이는 ‘ABCDE’ 훈련

흔히 초등학생이 배우는 것은 산수, 중고생이 배우는 것은 수학이라고 생각하지만 산수와 수학은 엄연히 다르다. 초등학교는 수에 대한 가장 기본적인 것을 배운다. 계산하는 연습, 다시 말해 수의 계산인 ‘산수’를 의미한다. 중고교에 올라가면서 산수를 바탕으로 수에 대한 성질을 이용해 문제를 푸는 ‘수학’을 공부한다. 그렇다면 산수와 수학을 어떻게 공부시켜야 수학 천재로 만들 수 있을까. 일반적으로 저학년(킨더가튼~초등학교 4학년)은 수학보다는 산수를 집중적으로 많이 배우고 연습하는 시기다. 이 시기에 자녀가 수의 개념을 잘 이해하고 흥미를 갖고 공부하는 자세가 필요하다. 예를 들어 ‘가’에 관한 연습 문제를 풀게 한 후 학생이 어느 정도 실력을 갖췄다면 ‘가’에 관한 부분은 30~40% 정도로 복습을 시키고 ‘나’ 주제에 관한 산수 연습을 시키는 게 좋다. 산수에 자신감이 생겼거나 초등학교 5학년 이상이라면 조금씩 수학을 접할 수 있는 기회를 주는 것이 좋다. 사칙연산을 잘한 학생들에게 자신이 알고 있는 산수를 접목할 수 있는 문장제 문제를 풀게 함으로써 생각하는 훈련을 시켜야 한다. 생각하는 훈련을 ‘ABCDE 공부법’으로 가르친다면 보다 효과적으로 수학을 지도할 수 있다. ▶A: Analysis (문제 분석하기) 문제를 풀고 이해하기 위해서는 문제를 정확히 읽어야 한다. ‘문제를 정확히 읽는다’는 것은 ‘문제를 정확히 파악한다’는 것과 같다. 문제 분석을 통해 문제가 물어보고자 하는 것이 무엇인지, 어떤 조건들을 주고 있는지를 파악하는 것을 말한다. ▶B: Brainstorming (다양한 방법 생각하기) 문제를 읽고 나면 어떻게 풀어야 할 지 생각해야 한다. 자신이 배운 지식 중 무슨 공식과 어떤 개념을 이용해야 풀 수 있는지 고민해야 한다. 한 문제를 풀기 위한 방법은 여러 가지가 있기 때문에 이것저것 생각해 보는 자세가 필요하다. ▶C: Creativity (생각 표현하기) 다양한 방법으로 생각하는 작업이 끝났다면 이런 생각들을 종이에 써서 수학적으로 표현해야 한다. 아무리 좋은 생각이 있더라도 표현하지 못한 것은 의미가 없음을 명심해야 한다. 맞고 틀리고를 떠나 일단 어떤 수학적 방법들을 활용할 수 있을 지 써보는 것이 좋다. ▶D: Development (함정과 실수 피하기) 하지만 수학적으로 표현했다고 해서 문제에 대한 답이 바로 나오는 것은 아니다. 이를 좀더 정확한 표현으로 다듬고 어려운 문제의 경우 혹시 함정이나 실수 할만 한데가 없는지 꼼꼼하게 확인하는 과정이 필요하다. ▶E: Evaluation (정확히 계산하기) 학생들에게 마지막 단계 ‘E’에 관해 물어보면 대부분 ‘End’ 를 외치곤 한다. 하지만 마무리가 잘 지으려면 앞에서 언급한 ‘수학은 산수를 바탕으로 하고 있다’는 개념을 다시 한번 기억해야 한다. 바로 ‘Evaluation (정확히 계산하기)’이다. 아무리 좋은 생각과 수학적 표현으로 잘 풀었다고 하더라도 잘못된 계산을 통해 오답이 나온다면 지금까지 과정은 한순간에 물거품이 될 수 있음을 명심해야 한다.

'AMC 8 출전 최소 1년은 준비하라'

해외 수학올림피아드로 나가는 첫 단계인 AMC 8을 처음 도전하는 학생들이 집중적으로 준비해야 하는 부분은 무엇일까. 또 얼마나 준비해야 할까. 다년간 수학 경시대회 출전 학생을 지도해 온 코넬리우스 맥셰인(사진) 뉴저지 저지시티중학교 수학교사에게 물었다. -AMC 8에 출전하려면 얼마나 준비해야 하나. “8학년생 미만이 참가할 수 있는 AMC 8에 처음 출전하는 경우 6~7학년부터 준비하면 무난하다. 전국적인 수학 경시대회 심사위원들은 언제나 재능이 뛰어난 어린 학생 발굴에 혈안돼 있지만 7학년부터 준비해도 문제없다. 하지만 중요한 것은 준비기간 보다 대회에서 풀어야 하는 문제 유형을 파악하는 것이다. 학교에서 교과서에 나온 문제만 풀어본 학생은 AMC에서 당황할 수 있다.” -가장 효과적인 문제 유형 파악은. “AMC 웹사이트가 제공하는 기출 문제를 풀어보는 것이 첫 단계다. 어떤 식의 문제인지, 몇개 문항이 출제되는지 살펴봐야 한다. 비슷한 실력이나 같은 대회에 출전하는 학생들끼리 소규모 스터디 그룹으로 창의적인 방법으로 문제를 풀어보는 것이 도움이 된다. 교재 ‘Art of Problem Solving’을 추천한다. 고교 수학 수준까지 마스터할 수 있으면 좋다. 마지막으로 수학 공부를 즐기라고 당부하고 싶다. 수학이 지겨워지면 훈련도 소용없다.” -창조적인 문제 해결 방법은 학원에서 배울 수 없는데. “단기간에 창조적인 접근 방법을 배울 수는 없지만 문제 해결 전략을 배울 수 있다. 학생의 실력에서 어떤 점을 개발해야 하는지 조언을 들을 수 있다. 재능있는 다른 학생들에게 자극받고 다양한 문제 해결법을 비교하고 배우는 것이 중요하다." -수학 경시대회 출전하는 한인 학생들의 강점은. “기본적으로 한인 학생들은 수학을 정말 좋아하고 실력도 좋다. 노력하는 시간도 타민족계 학생보다 앞선다. 하지만 창조적인 문제해결 능력이 좀 뒤지는 것이 흠이다. 그러나 미 전역 수학 실력 상위 5%에 드는 학생들을 보면 실력에 있어서 인종적인 차이를 발견할 수 없다.” -학부모들이 도와줄 수 있는 방법은. “아무래도 대회이기 때문에 자녀를 너무 다그치는 학부모를 많이 만난다. 하지만 아무리 큰 대회라도 학생들은 아직 어리다는 점을 이해해야 한다. 대회 성적에 집착하지 말고 대회가 수학을 즐기고 더 배울 수 있는 기회의 장이라는 점을 기억해야 한다. 자녀를 뒤에서 적극 지지해 주길 바란다.” ☞코넬리우스 맥셰인 교사는=뉴저지 저지시티중학교에서 8학년 수학을 가르치고 있다. 리지우드고 수학 교사도 역임했다. 2000~2006년 7년간 뉴저지 버겐카운티 수학리그 대표를 맡았고 현재 이사로 있다. 버겐카운티 수학리그는 29개 고교 학생들이 참여해 매년 6회 경시대회를 치르고 있다. 맥셰인 교사는 이 팀을 이끌고 펜스테이트대에서 열리는 ARML 전국 대회에 참가했다. 이 대회는 15명이 한 팀으로 수학 문제를 푸는 문제가 포함된 팀워크를 강조하는 대회다. 조진화 기자 jinhwa@koreadaily.com

수학 재능있는 학생이 도전하는 ‘AMC'<수학경시대회>…기출문제 꾸준히 풀어 문제 유형 익히면 도움

수학 경시대회인 AMC(American Mathematics Contest)가 열흘 앞으로 다가왔다. 8학년생 미만이 참가하는 AMC 8 대회가 17일 열린다. AMC 10, AMC 12 대회는 내년 2월에 열린다. AMC는 미국은 물론 아시아, 유럽에서 수학에 관심이 있거나 재능있는 학생이면 누구나 신청할 수 있다. 이 시험을 시작으로 고난위 시험을 통과하면 최종적으로 미국 대표로 선발돼 해외 수학올림피아드에 출전할 수 있는 기회를 얻을 수 있다. 영어를 잘못하는 수험생이 AMC 8에 처음 출전하는 경우는 시험장에서 영어 사전을 이용할 수 있다. 한인 학생은 한영 혹은 영한 사전을 쓸 수 있다. 시험 전 24시간 이상 전에는 시험 감독에게 사전을 미리 전달해야 한다. ◇AMC 8부터 차근차근=AMC는 수학에 관심이 있거나 재능있는 학생이면 누구나 응시할 수 있다. 대회는 학년에 따라 AMC 8·10·12로 나뉜다. AMC 8은 8학년생 이하면 누구나 볼 수 있다. 주로 6~8학년들이 보는데 수학 실력이 좋은 4~5학년들도 도전하고 있다. AMC 측에 따르면 8세 학생이 응시한 적도 있다. 전체 문제는 25개로 40분 안에 풀어야 한다. 주로 추수감사절 일주일 전 화요일에 열린다. 올해는 17일이다. <표 참조> 시험 점수는 맞춘 문항 숫자에 따라 계산되고 틀린 문제에 대한 감점은 없다. 주로 중학교에서 배우는 수학 문제들이 나온다. 대수(Algebra)나 계산기가 필요한 문항은 하나도 없다. 이 시험에서 20점 이상을 받은 학생들은 AMC 10·12에 출전할 수 있는 자격을 얻는다. 시험 신청 마감은 11월 10일. 10학년 미만이 출전할 수 있는 AMC 10은 25개 문제로 75분 안에 풀어내야 한다. 내년 2월 9·24일 중 하루를 골라 시험을 볼 수 있다. AMC 12는 고교 수학 과정을 총망라하는 문제들이 나온다. 역시 25개 문제를 75분 안에 푸는 시험이다. 이 시험 역시 AMC 12가 열리는 이틀 중 하루를 골라 출전할 수 있다. 이틀 열리기 때문에 10학년 이하 학생 중 수학 실력이 좋은 학생들은 AMC 10과 AMC 12를 모두 치를 수도 있다. 이 두 시험 신청 마감은 2월 19일. ◇해외 올림피아드 출전=AMC 10·12에서 최상위권 안에 포함되는 학생들은 AIME(American Invitational Mathematics Examination) 진출권을 확보할 수 있다. AMC 10에서 상위 1%, AMC 12에서 상위 5% 학생들만 따로 수학 실력을 겨루는 것이다. AIME는 대충 감으로 맞출 수 없는 고난이도 문제들이 출제된다. 총 15개 문제로 구성되는 이 시험은 내년 3월 열린다. 이 시험 응시생 중 상위 500명은 USAMO(United States of America Mathematics Olympiad) 출전권을 얻는다. 이 시험은 미국과 캐나다 시민권자만 응시할 수 있다. USAMO 상위 12명은 올림피아드 최종 출전생을 가리는 서머프로그램인 MOSP(Mathematical Olympiad Summer program)에 참가할 수 있다. 여기서 미국을 대표해 해외 수학올림피아드에 나갈 수 있는 최종 6명이 가려진다. 해외 수학올림피아드는 매년 다른 나라에서 열리는데 내년에는 카자흐스탄에서 열린다. 2000년 한국 대전에서 열렸었다. ◇시험 준비=AMC 웹사이트(www.unl.edu/amc)는 기출 문제를 공개하고 있다. AMC에 첫 출전하는 학생이라면 기출 문제를 반복적으로 풀어 시험 유형에 익숙해 지는 것이 유리하다. 뉴저지아카데미 제니 이 원장은 “학교에서 수학을 잘하는 학생과 대회에서 좋은 성적을 거두는 학생들은 조금 다르다”면서 “우선 AMC 기출 문제로 연습을 하는 것이 최고 준비 방법”이라고 설명했다. 웹사이트는 기출 문제는 물론 응시생들에게 도움이 되는 요령, 추천 도서 목록, 수학 관련 웹사이트 등을 공개하고 있다. 이 시험은 시험을 치르겠다고 등록한 학교, 학원 등에서 볼 수 있다. 답안지를 AMC 본부로 보내면 점수를 계산해 대회일로부터 3주 안에 결과를 전달한다. 조진화 기자 jinhwa@koreadaily.com